Question

已知定點A（1，0）和定圓B：x²+y²+2x-15=0，動圓P和定圓B相切并過A點，
（1）求動圓P的圓心P的軌跡C的方程．
（2）設Q是軌跡C上任意一點，求∠AQB的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據動圓P和定圓B相切并過A點，可知|PA|+|PB|=4＞2，所以點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓，故可求點P的軌跡方程；
（2）設|QA|=m，|QB|=n，則m+n=4，則cos∠AQB=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

6

mn

-1≥

6

( m+n 2 )2

-1=

1

2

，當且僅當m=n時取“=”，根據∠AQB∈（0，π），可求∠AQB的最大值．

解答：解：（1）定圓B的圓心坐標為（-1，0）
設P（x，y），則
∵動圓P和定圓B相切并過A點
∴|PA|+|PB|=4＞2，
∴所以點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為4的橢圓
所以點P的軌跡方程是

x2

4

+

y2

3

=1
（2）設|QA|=m，|QB|=n，則m+n=4
∴cos∠AQB=

m2+n2-4

2mn

=

(m+n)2-2mn-4

2mn

=

6

mn

-1≥

6

( m+n 2 )2

-1=

1

2

當且僅當m=n時取“=”，
∵∠AQB∈（0，π），
∴∠AQB的最大值是

π

3

點評：本題考查的重點是點的軌跡方程，考查余弦定理與基本不等式的運用，解題的關鍵是正確運用橢圓的定義，靈活解題．