Question

【題目】設函數，，其中，為自然對數的底數．

（1）討論的單調性；

（2）證明：當時，；

（3）確定的所有可能取值，使得在區間內恒成立．

Answer 1

【答案】（1）當時單調遞減；當時，單調遞增；

（2）詳見解析；（3）．

【解析】

試題分析：（1）首先對求導，然后對進行討論，從而判斷函數的單調性；（2）利用導數判斷函數的單調性，從而證明結論；（3）構造函數（），利用導數判斷函數的單調性，從而求解的值．

試題解析：（1）由，得．

當時，在成立，則為上的減函數；

當時，由，得，

∴當時，，當時，．

則在上為減函數，在上為增函數．

綜上，當時，為上的減函數；當時，在上為減函數，在上為增函數．

（2）證明：要證，即，即證，也就是證．

令，則，∴在上單調遞增，則，

即當時，，∴當時，；

（3）由，得．

設，由題意知，在內恒成立．

∵，∴有在內恒成立．

令，則，

當時，，

令，，函數在上單調遞增．∴．

又，，∴，．

綜上所述，，，在區間單調遞增，

∴，即在區間單調遞增，∴．