Question

設函數(shù)f（x）=ax²+b（a≠0），若

∫

2 0

f(x)dx=2f(x0)，x0＞0，則x₀=

2 3

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)定積分公式，求出f（x）的原函數(shù)F（x），通過計算F（2）-F（0）得到

∫

2 0

f(x) dx=

8

3

a+2b，再結(jié)合題意列出等式2(ax0 2+b)=

8

3

a+2b，采用比較系數(shù)法，得到x0=

2

3

3

．

解答：解：∵

∫

2 0

f(x) dx=

∫

2 0

(ax2+b) dx=(

1

3

ax3+bx+c)

|

2 0

=

8

3

a+2b，其中c為常數(shù)
∴2f（x₀）=2（ax₀²+b）=

8

3

a+2b
從而2x02=

8

3

，得x02=

4

3

∵x₀＞0
∴x0=

2

3

3

故答案為：

2 3

3

點評：本題多項式函數(shù)為例，考查了定積分的求法和比較系數(shù)法求字母參數(shù)的值，屬于中檔題．