Question

（1）已知在△ABC中，∠A=45°，a=2，c=

6

，解這個三角形．
（2）在△ABC中，A、B、C對邊分別是a，b，c，c=

7

2

，∠C=60°，S_△ABC=

3 3

2

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理a²=c²+b²-2bccosA，結合題中數據算出b=

3

+1或b=

3

-1，再利用正弦定理并結合分類討論加以計算，可算出角B、C的大小，從而使三角形得解；
（2）由正弦定理的面積公式，結合題意算出ab=6，再利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosA，化簡得出（a+b）²=（a+b）²-3ab，代入數據可解出a+b的值．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠A=45°，a=2，c=

6

，
∴由余弦定理a²=c²+b²-2bccosA，得
4=6+b²-2

3

b，即b²-2

3

b+2=0
解之得b=

3

+1或b=

3

-1
當b=

3

+1時，由

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

得

2

sin45°

=

3 +1

sinB

=

6

sinC

，解之得B=75°，C=60°；
當b=

3

-1時，同理可得B=15°，C=120°
綜上所述，b=

3

+1、B=75°且C=60°或b=

3

-1、B=15°且C=120°；
（2）∵∠c=60°，S_△ABC=

3 3

2

，
∴

1

2

absin60°=

3 3

2

，解之得ab=6
∵c=

7

2

，∠C=60°，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，得

49

4

=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab=（a+b）²-18
∴（a+b）²=18+

49

4

=

121

4

，可得a+b=

11

2

．

點評：本題給出三角形已知的邊和角，求它另外的邊和角．著重考查了利用正余弦定理解三角形、特殊角的三角函數值等知識，屬于中檔題．