Question

在如右圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，且AD＝PD＝2MA.

(1)求證：平面EFG⊥平面PDC；

(2)求三棱錐P－MAB與四棱錐P－ABCD的體積之比．

  

Answer 1

(1)證明　因為MA⊥平面ABCD，

PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.        ……………2分

因為四邊形ABCD為正方形，

所以BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.              ……………4分

在△PBC中，因為G、F分別為PB、PC的中點，

所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，

所以平面EFG⊥平面PDC.                                ……………6分

(2)解　因為PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設MA＝1，

則PD＝AD＝2，

所以V_P－ABCD＝S_{正方形ABCD}·PD＝.                   ……………8分

由題意可知，DA⊥平面MAB，且PD∥MA，

所以DA即為點P到平面MAB的距離，

所以V_P－MAB＝××1×2×2＝.                   ……………11分

所以V_P－MAB∶V_P－ABCD＝1∶4.                      ……………12分