Question

如圖，某市擬在道路的一側修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段ABC，該曲線段為函數y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，＜φ＜π），x∈[-3，0]的圖象，且圖象的最高點為B（-1，3）；賽道的中間部分為千米的水平跑到CD；賽道的后一部分為以O圓心的一段圓弧．
（1）求ω，φ的值和∠DOE的值；
（2）若要在圓弧賽道所對應的扇形區域內建一個“矩形草坪”，如圖所示，矩形的一邊在道路AE上，一個頂點在扇形半徑OD上．記∠POE=θ，求當“矩形草坪”的面積最大時θ的值．

Answer 1

【答案】分析：1）依題意，得A=3，=2，根據周期公式T=可得ω=，把B（-1，3）代入結合已知
＜φ＜π可得φ，又x=0時，y=OC=3，因為CD=從而可得∠COD=，可求∠DOE=．
（2）由（1）可知OD=OP=2，矩形草坪的面積S=（2sinθ）2cosθ+2sinθ=4sin（2θ+）-2，有0＜θ＜，結合正弦函數的性質可求
解答：解：（1）依題意，得A=3，=2，因為T=，所以ω=，所以y=3sin（x+φ）．
當x=-1時，3sin（-+φ）=3，由＜φ＜π，得-+φ=，所以φ=．
又x=0時，y=OC=3，因為CD=，所以∠COD=，從而∠DOE=．
（2）由（1）可知OD=OP=2，矩形草坪的面積
S=（2sinθ）（2cosθ-2sinθ）=4（sinθcosθ-sin²θ）
=4（sin2θ+cos2θ-）=4sin（2θ+）-2，
其中0＜θ＜，所以當2θ+=，即θ=時，S最大．
點評：本題主要考查了在實際問題中，由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定函數的解析式，一般步驟是：由函數的最值確定A的值，由函數所過的特殊點確定周期T，利用周期公式求ω，再把函數所給的點（一般用最值點）的坐標代入求φ，從而求出函數的解析式；還考查了實際問題中的最值的求解．關鍵是要把實際問題轉化為數學問題來求解．