Question

（本題10分）已知，動點滿足，設動點的軌跡是曲線，直線：與曲線交于兩點.（1）求曲線的方程；

（2）若，求實數的值；

（3）過點作直線與垂直，且直線與曲線交于兩點，求四邊形面積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）曲線的方程為；（2）。

（3）當時，四邊形面積有最大值7.

【解析】

試題分析：（1）設為曲線上任一點，則由，化簡整理得。

（2）因為根據向量的關系式，，所以，所以圓心到直線的距離，所以 

（3）對參數k，分情況討論，當時，,

當時，圓心到直線的距離，所以

，同理得|PQ|，求解四邊形的面積。

解：（1）設為曲線上任一點，則由，化簡整理得。

曲線的方程為              --------------3分 

（2）因為，所以，

所以圓心到直線的距離，所以。   -----6分

（3）當時，,

當時，圓心到直線的距離，所以

，同理得

所以

=7當且僅當時取等號。

所以當時，

綜上，當時，四邊形面積有最大值7.           --11

考點：本題主要是考查軌跡方程的求解，已知直線與圓的位置關系的運用。

點評：解決該試題的關鍵是設出所求點滿足的關系式，化簡得到軌跡方程，同時利用聯立方程組的思想得到長度和面積的表示。