Question

（05年北京卷理）（14分）

設是定義在[0，1]上的函數，若存在，使得在[0，]上單調遞增，在[，1]單調遞減，則稱為[0，1]上的單峰函數，為峰點，包含峰點的區間為含峰區間對任意的[0，1]上的單峰函數，下面研究縮短其含峰區間長度的方法

（Ⅰ）證明：對任意的 , ,若，則（0，）為含峰區間；若，則（，1）為含峰區間；

（Ⅱ）對給定的（0<<0.5），證明：存在,滿足，使得由（Ⅰ）確定的含峰區間的長度不大于0.5+;

(Ⅲ)選取, 由（Ⅰ）可確定含峰區間為（0，）或（，1），在所得的含峰區間內選取,由與或與類似地可確定是一個新的含峰區間．在第一次確定的含峰區間為（0，）的情況下，試確定的值，滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02且使得新的含峰區間的長度縮短到0.34

（區間長度等于區間的右端點與左端點之差）

Answer 1

解析：（I）證明：設x*為f(x) 的峰點，則由單峰函數定義可知，f(x)在[0, x*]上單調遞增，在[x*, 1]上單調遞減．

    當f(x₁)≥f(x₂)時，假設x*(0, x₂)，則x₁<x₂<x*，從而f(x*)≥f(x₂)>f(x₁)，

    這與f(x₁)≥f(x₂)矛盾，所以x*∈(0, x₂)，即(0, x₂)是含峰區間

    當f(x₁)≤f(x₂)時，假設x*( x₂, 1)，則x*<≤x₁<x₂，從而f(x*)≥f(x₁)>f(x₂)，

    這與f(x₁)≤f(x₂)矛盾，所以x*∈(x₁, 1)，即(x₁, 1)是含峰區間

（II）證明：由（I）的結論可知：

    當f(x₁)≥f(x₂)時，含峰區間的長度為l₁＝x₂；

    當f(x₁)≤f(x₂)時，含峰區間的長度為l₂=1－x₁；

    對于上述兩種情況，由題意得

                          ①

    由①得 1＋x₂－x₁≤1+2r，即x₁－x₁≤2r

    又因為x₂－x₁≥2r，所以x₂－x₁=2r,     ②

    將②代入①得

    x₁≤0.5－r, x₂≥0.5－r，               ③

    由①和③解得 x₁＝0.5－r， x₂＝0.5＋r

    所以這時含峰區間的長度l₁＝l₁＝0.5＋r，即存在x₁，x₂使得所確定的含峰區間的長度不大于0.5＋r

（III）解：對先選擇的x₁；x₂，x₁<x₂，由（II）可知

    x₁＋x₂＝l，                             ④

    在第一次確定的含峰區間為(0, x₂)的情況下，x₃的取值應滿足

    x₃＋x₁＝x₂，                            ⑤

    由④與⑤可得,

    當x₁>x₃時，含峰區間的長度為x₁．

    由條件x₁－x₃≥0.02，得x₁－(1－2x₁)≥0.02，從而x₁≥0.34

    因此，為了將含峰區間的長度縮短到0.34，只要取x₁＝0.34，x₂＝0.66，x₃=0.32