Question

【題目】已知函數f(x)=g(x)=f(x)+x-6lnx,其中R.

(1)當=1時,判斷f(x)的單調性;

(2)當=2時,求出g(x)在（0,1）上的最大值；

(3)設函數當=2時,若總有成立,求實數m的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f(x)在上單調遞增；（2）；（3）[8-5.

【解析】

（1）當時，利用函數的導數可判斷出函數在上遞增.（2）當時，利用的導數求得函數的單調區間，進而求得函數的最大值.（3）將原不等式成立轉化為來求解，根據（2）的結論以及二次函數在上的最大值列不等式組，解不等式組求得的取值范圍.

(1)由題意知f(x)的定義域為

f′.

當a=1時,在上,f′

故f(x)在上單調遞增.

（2）由lnx,當a=2時lnx,

g′由g′(x)=0,得或x=2.

當時,g′(x)>0;當時,g′(x)<0

所以在(0,1)內ln2.

(3)”總有成立”等價于”g(x)在(0,1)內的最大值不小于h(x)在[1,2]上的最大值”,而h(x)在[1,2]上的最大值為max{h(1),h(2)},

所以有即

可得即ln2,

所以實數m的取值范圍是[8-5.