Question

【題目】已知函數f(x)＝x－1＋ (a∈R，e為自然對數的底數)．

(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，求a的值；

(2)當a＝1時，若直線l：y＝kx－1與曲線y＝f(x)相切，求l的直線方程．

Answer 1

【答案】（1）e（2）（y＝(1－e)x－1.

【解析】

（1）依題意，f′（1）=0，從而可求得a的值；

（2）設切點為（x0，y0），求出函數的切線方程，求出k即可得到結論．

解　(1)f′(x)＝1－，因為曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線平行于x軸，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.

(2)當a＝1時，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.

設切點為(x0，y0)，

∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①

f′(x0)＝1－＝k，②

①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.

若k＝1，則②式無解，∴x0＝－1，k＝1－e.

∴l的直線方程為y＝(1－e)x－1.