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(8分)設(3x－1)⁸＝a₈x⁸＋a₇x⁷＋…＋a₁x＋a₀.求：

(1)a₈＋a₇＋…＋a₁；

(2)a₈＋a₆＋a₄＋a₂＋a₀.

【答案】

32 896.

【解析】對于二項式展開式的系數求和問題，通常采用賦值法求解，一般賦給字母的值為0，-1，1等。

解：令x＝0，得a₀＝1.

(1)令x＝1得(3－1)⁸＝a₈＋a₇＋…＋a₁＋a₀，①

∴a₈＋a₇＋…＋a₂＋a₁＝2⁸－a₀＝256－1＝255.

(2)令x＝－1得(－3－1)⁸＝a₈－a₇＋a₆－…－a₁＋a₀.②

①＋②得2⁸＋4⁸＝2(a₈＋a₆＋a₄＋a₂＋a₀)，

∴a₈＋a₆＋a₄＋a₂＋a₀＝(2⁸＋4⁸)＝32 896.

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（2）設函數F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數f(x)與g(x)的導函數；試問是否存在實數a，使得當x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

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（本小題滿分13分）(第一問8分，第二問5分)
已知函數f(x)＝2lnx，g(x)＝ax²＋3x.
（1）設直線x＝1與曲線y＝f(x)和y＝g(x)分別相交于點P、Q，且曲線y＝f(x)和y＝g(x)在點P、Q處的切線平行，若方程f(x²＋1)＋g(x)＝3x＋k有四個不同的實根，求實數k的取值范圍；
（2）設函數F(x)滿足F(x)＋x［f′(x)－g′(x)］＝－3x²－(a＋6)x＋1.其中f′(x)，g′(x)分別是函數f(x)與g(x)的導函數；試問是否存在實數a，使得當x∈(0,1］時，F(x)取得最大值，若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

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