Question

若有窮數列{a_n}滿足：（1）首項a₁=1，末項a_m=k；（2）a_n+1=a_n+1或a_n+1=2a_n，（n=1，2，…，m-1），則稱數列{a_n}為k的m階數列．
（Ⅰ）請寫出一個10的6階數列；
（Ⅱ）設數列{b_n}是各項為自然數的遞增數列，若k=2b1+2b2+2b3+…2bl(l∈N)，且l≥2，求m的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據數列{a_n}為k的m階數列的定義可得一個10的6階數列為：1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10．
（Ⅱ）由已知在數列{a_n}中 a_n+1=a_n+1或a_n+1=2a_n，當a_n為偶數時，只需 a_n-1=

an

2

（a_n≥2）．當a_m為奇數時，必然有 a_n-1=a_n-1，（a_n≥2），a_n-1是偶數，可繼續重復上面的操作．
所以要使項數m最小，只需遇到偶數除以2，遇到奇數則減1．由此可得 m=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_l-b_l-1）+（l-1）+1=b_l+l．

解答：解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10．          …（2分）
（Ⅱ）由已知在數列{a_n}中 a_n+1=a_n+1或a_n+1=2a_n，
當a_n為偶數時，a_n-1=

an

2

（a_n≥2），或 a_n-1=a_n-1．
因為

an

2

≤a_n-1 （a_n≥2），所以在數列{a_n}中 1≤a_i≤

an

2

中i的個數不多于 1≤a_j≤a_n-1 中j的個數，
當要使項數m最小，只需 a_n-1=

an

2

（a_n≥2）．                     …（5分）
當a_m為奇數時，必然有 a_n-1=a_n-1，（a_n≥2），a_n-1是偶數，可繼續重復上面的操作．
所以要使項數m最小，只需遇到偶數除以2，遇到奇數則減1．
因為a_n=k=2b1+2b2+2b3+…2bl(l∈N)，且 0≤b₁＜b₂＜b₃＜…＜b_l，
只需除以2b1，得到 1+2b2-b1+2b3-b1+…+2bl-b1 為奇數；
減1，得到 2b2-b1+2b3-b1+…+2bl-b1 為偶數，
再除以 2b2-b1，得到 1+2b3-b2+2b4-b2+…+2bl-b2 為奇數；
再減1，得到  2b3-b2+2b4-b2+…+2bl-b2 為偶數，
…
最后得到 2bl-bl-1為偶數，除以2bl-bl-1，得到1，即為a₁．
所以 m=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+（b₄-b₃）+…+（b_l-b_l-1）+（l-1）+1=b_l+l．  …（13分）

點評：本題主要考查數列的函數特性，k的m階數列的定義，屬于難題．