Question

如圖,等邊三角形OAB的邊長為8,且其三個頂點均在拋物線E:x²=2py(p>0)上.

(1)求拋物線E的方程;
(2)設動直線l與拋物線E相切于點P,與直線y=-1相交于點Q,證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.

Answer 1

(1) x²=4y   (2)見解析

解析(1)解:依題意,|OB|=8,∠BOy=30°.
設B(x,y),則x="|OB|sin" 30°=4,
y="|OB|cos" 30°=12.
因為點B(4,12)在x²=2py上,
所以(4)²=2p×12,解得p=2.
故拋物線E的方程為x²=4y.
(2)證明:由(1)知y=x²,y′=x.
設P(x₀,y₀),則x₀≠0,y₀=,且l的方程為
y-y₀=x₀(x-x₀),即y=x₀x-.
由得
所以Q為.
設M(0,y₁),令·=0對滿足y₀=(x₀≠0)的x₀,y₀恒成立.
由于=(x₀,y₀-y₁),  =,
由·=0,
得-y₀-y₀y₁+y₁+=0,
即(+y₁-2)+(1-y₁)y₀=0.(*)
由于(*)式對滿足y₀=(x₀≠0)的y₀恒成立,
所以
解得y₁=1.
故以PQ為直徑的圓恒過y軸上的定點M(0,1).