Question

（文）已知點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n為正整數）都在函數y=a^x（a＞0，a≠1）的圖象上，其中{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式，并證明數列{b_n}是等比數列；
（2）設數列{b_n}的前n項的和S_n，求

lim

n→∞

Sn

Sn+1

；
（3）設Q_n（a_n，0），當a=

2

3

時，問△OP_nQ_n的面積是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直接利用定義即可求數列{a_n}的通項公式，再代入求出數列{b_n}的通項公式，用定義即可證明數列{b_n}是等比數列；
（2）先直接代入公式求出S_n以及

sn

sn+1

的表達式，再分a的不同取值來求結論即可；
（3）先找到△OP_nQ_n的面積的表達式，設出對應數列，再利用求數列最大項的方法求出△OP_nQ_n的面積的最大值即可．

解答：解：（1）a_n=2n-1，（n∈N^*），bn=aan=a2n-1，
∴

bn+1

bn

=a2(定值)，
∴數列{b_n}是等比數列．
（2）因為{b_n}是等比數列，且公比a²≠1，
∴Sn=

a(1-a2n)

1-a2

，

Sn

Sn+1

=

1-a2n

1-a2n+2

．
當0＜a＜1時，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=1；
當a＞1時，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

lim

n→∞

1-a2n

1-a2n+2

=

lim

n→∞

1 a2n -1

1 a2n -a2

=

1

a2

．
因此，

lim

n→∞

Sn

Sn+1

=

1，0＜a＜1 1 a2 ，a＞1

．
（3）bn=(

2

3

)2n-1，S△=

1

2

•(2n-1)•(

2

3

)2n-1，
設cn=

1

2

•(2n-1)•(

2

3

)2n-1，
當c_n最大時，則

cn≥cn-1 cn≥cn+1

，
解得

n≤2.3 n≥1.3

，n∈N^*，∴n=2．
所以n=2時c_n取得最大值

4

9

，
因此△OP_nQ_n的面積存在最大值

4

9

．

點評：本題考查等差數列與等比數列的基礎知識，數列最大項的求法和數列的極限．知識點較多，屬于中檔題．