Question

如圖，P是拋物線C：x²=2y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)P且與拋物線交于另一點(diǎn)Q，已知P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
（1）若l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，求弦長(zhǎng)|PQ|的最小值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T
①求證：

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|(

1

y1

+

1

y2

)
②求

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍．

Answer 1

（1）∵F為拋物線的焦點(diǎn)，∴F(0，

1

2

)
設(shè)直線l：y=kx+

1

2

，
聯(lián)立

y=kx+ 1 2 x2=2y

，得x²-2kx-1=0（﹡）
則|PQ|=|PF|+|QF|=(y1+

1

2

)+(y2+

1

2

)=y1+y2+1=k(x1+x2)+2．
由（﹡）得x₁+x₂=2k，帶入上式得|PQ|=2k²+2≥2，當(dāng)僅當(dāng)k=0時(shí)|PQ|的最小值為2；
（2）證明：如圖，
①分別過(guò)P，Q作PP′⊥x軸，QQ′⊥x軸，垂足分別為P′，Q′，
則

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=

|OT|

|P/P|

+

|OT|

|Q/Q|

=

|b|

|y1|

+

|b|

|y 2 |

=|b|(

1

y1

+

1

y2

)
②聯(lián)立

y=kx+b y= 1 2 x2

，消去x，得y²-2（k²+b）y+b²=0（﹟）
則y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2．
（方法1）
而

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|(

1

y1

+

1

y2

)≥2|b|

1 y 1 y2

=2|b|

1 b2

=2
而y₁，y₂可取一切不相等的正數(shù)∴

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍為（2，+∞）．
（方法2）

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

=|b|(

1

y1

+

1

y2

)=|b|

y1+y2

y1y2

=|b|

2(k2+b)

b2

當(dāng)b＞0時(shí)，上式=

2k2

b

+2＞2；
當(dāng)b＜0時(shí)，上式=

2(k2+b)

-b

．
由（﹟）式△＞0得k²+2b＞0即k²＞-2b
于是

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

＞

2(-2b+b)

-b

=2
綜上，

|ST|

|SP|

+

|ST|

|SQ|

的取值范圍為（2，+∞）．