Question

在等比數列{a_n}中，a₁=secθ（θ為銳角），且前n項和S_n滿足

lim

n→∞

Sn=

1

a1

，那么θ的取值范圍是

(0，

π

4

)

．

Answer 1

分析：由題意，可知數列的公比的范圍，利用數列的極限，求出secθ的表達式，然后求出θ的取值范圍．

解答：解：在等比數列{a_n}中，a₁=secθ（θ為銳角），且前n項和S_n滿足

lim

n→∞

Sn=

1

a1

，所以數列的公比為q，0＜|q|＜1，
所以

secθ

1-q

=

1

secθ

，sec²θ=1-q∈（1，2），θ為銳角即1＞cosθ＞

2

2

，θ∈(0，

π

4

)．
故答案為：(0，

π

4

)．

點評：本題考查數列的極限存在的充分條件，三角函數的值的范圍的應用，數列的和，考查計算能力．