Question

隨著機動車數量的增加，對停車場所的需求越來越大，如圖，ABCD是一塊邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一座半徑為90米的扇形小山，P是弧TS上一點，其余部分都是平地，現一開發商想在平地上建一個邊落在BC和CD上的長方形停車場PQCR．
（1）設∠PAB=θ，試寫出停車場PQCR的面積S與θ的函數關系式；
（2）求長方形停車場PQCR面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S關于θ的函數解析式；
（2）設sinθ+cosθ=t，利用平方關系求出sinθcosθ的表達式，通過θ的范圍求出t的范圍，得到S關于t的表達式，利用二次函數的性質求出S的最大值．

解答：解：（1）延長RP交AB于E，延長QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
∴EP=90cosθ，FP=90sinθ，
∴PR=100-90sinθ，PQ=100-90cosθ，
∴S_PQCR=f（θ）=PR•PQ=（100-90cosθ）（100-90sinθ）=8100sinθcosθ-900（sinθ+cosθ）+10000（0°≤θ≤90°）；
（2）令sinθ+cosθ=t（1≤t≤

2

），可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
即sinθcosθ=

t2-1

2

∴S=10000-9000t+8100×

t2-1

2

=

8100

2

×(t-

10

9

)2+950
∴t=

2

時，S_max=14050-9000

2

（m²），t=

10

9

時，S_min=950（m²）．

點評：本題考查的重點是函數模型的構建，解題的關鍵是自變量的選取，利用配方法求函數的最值．