Question

已知雙曲線的左右焦點分別為F₁，F₂，P為雙曲線右支一的任意一點，若的最小值為8a，則雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A．（0，+∞）
B．（1，2]
C．
D．（1，3]

Answer 1

【答案】分析：由定義知：|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=2a+|PF₂|，==，當且僅當，即|PF₂|=2a時取得等號．再利用三線段長的關系，可求得雙曲線的離心率的取值范圍．
解答：解：∵雙曲線的左右焦點分別為F₁，F₂，P為雙曲線右支一的任意一點
∴|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=2a+|PF₂|，
∴==，
當且僅當，即|PF₂|=2a時取得等號
∴|PF₁|=2a+|PF₂|=4a
∵|PF₁|-|PF₂|=2a＜2c，|PF₁|+|PF₂|=6a≥2c，
∴e∈（1，3]
故選D．
點評：本題考查雙曲線的性質和應用，解題時要認真審題，注意基本不等式的合理運用．