Question

如圖，在四棱錐PABCD中，PD⊥底面ABCD，AD⊥AB，CD∥AB，AB＝AD＝2，CD＝3，直線PA與底面ABCD所成角為60°，點M、N分別是PA、PB的中點．求證：

(1)MN∥平面PCD；

(2)四邊形MNCD是直角梯形；

(3)DN⊥平面PCB.

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）見解析

【解析】(1)因為點M、N分別是PA、PB的中點，所以MN∥AB.

因為CD∥AB，所以MN∥CD.

又CD平面PCD，MN平面PCD，所以MN∥平面PCD.

(2)因為AD⊥AB，CD∥AB，所以CD⊥AD.

因為PD⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，

所以CD⊥PD.

因為AD∩PD＝D，所以CD⊥平面PAD.

因為MD平面PAD，所以CD⊥MD.

又MN∥CD，MN≠CD，

所以四邊形MNCD是直角梯形．

(3)因為PD⊥底面ABCD，所以∠PAD就是直線PA與底面ABCD所成的角，

從而∠PAD＝60°.

在Rt△PDA中，AD＝，PD＝，PA＝2，MD＝.

在直角梯形MNCD中，MN＝1，ND＝，CD＝3，CN＝＝，

從而DN2＋CN2＝CD2，所以DN⊥CN.

在Rt△PDB中，PD＝DB＝，N是PB的中點，則DN⊥PB.

又PB∩CN＝N，所以DN⊥平面PCB.