Question

有一家公司準(zhǔn)備裁減人員．已知這家公司現(xiàn)有職員4a（40＜a＜120，a∈Z）人，每人每年可創(chuàng)純利5萬(wàn)元．據(jù)評(píng)估，在經(jīng)營(yíng)條件不變的前提下，每裁員1人，則留崗職員每人每年多創(chuàng)純利0.1萬(wàn)元，但公司需付下崗職員生活費(fèi)等每人每年4萬(wàn)元，并且該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有職員的

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4

．
（Ⅰ）若該公司裁減x人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為y萬(wàn)元，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）該公司為獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益，應(yīng)裁員多少人？

Answer 1

（ I）設(shè)裁員x人，可獲得的經(jīng)濟(jì)效益為y萬(wàn)元，則y=（4a-x）（5+0.1x）-4x．
整理得y=-

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[x2-2(2a-45)x]+20a…（5分）
又由該公司正常運(yùn)轉(zhuǎn)所需人數(shù)不得少于現(xiàn)有職員的

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4

，
所以4a-x≥

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4

×4a，即0＜x≤a…（7分）
（Ⅱ）因函數(shù)y=-

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10

[x2-2(2a-45)x]+20a的對(duì)稱軸方程為x=2a-45．
由二次函數(shù)的圖象可知：
當(dāng)x＜2a-45時(shí)，函數(shù)y=-

1

10

[x2-2(2a-45)x]+20a是遞增的；
當(dāng)x＞2a-45時(shí)，函數(shù)y=-

1

10

[x2-2(2a-45)x]+20a是遞減的．
∵0＜x≤a．且40＜a≤120
∴①當(dāng)0＜2a-45≤a，即40＜a≤45時(shí)，x=2a-45時(shí)，
函數(shù)y=-

1

10

[x2-2(2a-45)x]+20a取得最大值…（10分）
②當(dāng)2a-45＞a，即45＜a＜120時(shí)，x=a時(shí)，
函數(shù)y=-

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10

[x2-2(2a-45)x]+20a取得最大值…（12分）
綜上所述：當(dāng)40＜a≤45時(shí)，應(yīng)裁員（2a-45）人；當(dāng)45＜a＜120時(shí)，應(yīng)裁員a人，公司才能獲得最大的經(jīng)濟(jì)效益…（13分）