Question

某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都“合格”則該課程考核“合格”．甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為0.9、0.8、0.7；在實驗考核中合格的概率分別為0.8、0.7、0.9．所有考核是否合格相互之間沒有影響．
（Ⅰ）求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；
（Ⅱ）求這三人該課程考核都合格的概率（結果保留三位小數）．

Answer 1

分析：（1）理論考核中至少有兩人合格包含甲和乙合格丙不合格，甲和丙合格乙不合格，丙和乙合格甲不合格，三種情況，且這三種情況是互斥的，三個人是否合格是相互獨立的，根據概率公式得到結果．
（2）這三人該課程考核都合格表示三個人的理論與實驗兩部分都合格，對于每個人的理論與實驗兩部分是否合格是相互獨立的，三個人都合格也是相互獨立的，根據相互獨立事件的概率公式得到結果．

解答：解：記“甲理論考核合格”為事件A₁；
“乙理論考核合格”為事件A₂；“丙理論考核合格”為事件A₃；
記

.

Ai

為A_i的對立事件，i=1，2，3；記“甲實驗考核合格”為事件B₁；
“乙實驗考核合格”為事件B₂；“丙實驗考核合格”為事件B₃；
（Ⅰ）記“理論考核中至少有兩人合格”為事件C，
P(C)=P(A1A2

.

A3

+A1

.

A2

A3+

.

A1

A2A3+A1A2A3)
=P(A1A2

.

A3

)+P(A1

.

A2

A3)+P(

.

A1

A2A3)+P(A1A2A3)
=0.9×0.8×0.3+0.9×0.2×0.7+0.1×0.8×0.7+0.9×0.8×0.7
=0.902
∴理論考核中至少有兩人合格的概率為0.902
（Ⅱ）記“三人該課程考核都合格”為事件D
P（D）=P[（A₁•B₁）•（A₂•B₂）•（A₃•B₃）]
=P（A₁•B₁）•P（A₂•B₂）•P（A₃•B₃）
=P（A₁）•P（B₁）•P（A₂）•P（B₂）•P（A₃）•P（B₃）
=0.9×0.8×0.8×0.8×0.7×0.9
=0.254016
≈0.254
∴這三人該課程考核都合格的概率為0.254

點評：本題主要考查相互獨立事件同時發生的概率，考查互斥事件的概率，考查應用概率知識解決實際問題的能力，是一個基礎題．