Question

已知O為△ABC所在平面內一點，滿足|

OA

|²+|

BC

|²=|

OB

|²+|

CA

|²=|

OC

|²+|

AB

|²，則點O是△ABC的

 

 心．

Answer 1

分析：根據向量的減法分別用

OA

，

OB

，

OC

表示

BC

，

CA

，

AB

，利用數量積運算和題意代入式子進行化簡，證出OC⊥AB，同理可得OB⊥AC，OA⊥BC，即證出O是△ABC的垂心．

解答：解：設

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，則

BC

=

c

-

b

，

CA

=

a

-

c

，

AB

=

b

- 

a

．
由題可知，|

OA

|2+|

BC

|2=|

OB

|2+|

CA

|2=|

OC

|2+|

AB

|2，
∴|

a

|²+|

c

-

b

|²=|

b

|²+|

a

-

c

|²，化簡可得

c

•

b

=

a

•

c

，即（

b

-

a

）•

c

=0，
∴

OC

•

AB

=0，∴

AB

⊥

OC

，即OC⊥AB．
同理可得OB⊥AC，OA⊥BC．
∴O是△ABC的垂心．
故答案為：垂．

點評：本題考查了向量在幾何中應用，主要利用向量的線性運算以及數量積進行化簡證明，特別證明垂直主要根據題意構造向量利用數量積為零進行證明．