Question

（1）現有一個破損的圓塊（如圖1），只給出一把帶有刻度的直尺和一個量角器，請你設計一種方案，求出這個圓塊的直徑的長度．
（2）如圖2，已知△ABC三個角，A，B，C滿足sin²B+sin²C-sin²A=sinB•sinC，AD是△ABC外接圓直徑，CD=2，BD=3，求∠CAB和AD的長．

Answer 1

分析：（1）方案一：①作破損的圓塊內接三角形ABC；②用直尺量出三邊的長a，b，c，用余弦定理求出角A；③由正弦定理可求出直徑：2R=

a

sinA

．
方案二：①作破損的圓塊的三角形ABC；②用直尺量出邊長a，用量角器量角A；③由正弦定理可求出直徑：2R=

a

sinA

．
（2）利用余弦定理求出∠CAB．在△ADB中，利用余弦定理求出AD即可．

解答：解：（1）方案一：①作破損的圓塊內接三角形ABC；
②用直尺量出三邊的長a，b，c，用余弦定理求出角A；
③由正弦定理可求出直徑：2R=

a

sinA

．
方案二
①作破損的圓塊的三角形ABC；
②用直尺量出邊長a，用量角器量角A；
③由正弦定理可求出直徑：2R=

a

sinA

．…（5分）
（2）由余弦定理得：b²+c²-a²=bc…（7分）
∴cos∠CAB=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

∵0°＜∠CAB＜180°，∴∠CAB=60°，∠CDB=120°，…（9分）
在△ADB中，CB ²=2 ²+3 ²-2×2×3×cos120°=19
∴CB=

9

，
∴AD=

BC

sin∠CAB

=

19

3 2

=

2 57

3

…（12分）

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應用，考查轉化思想以及計算能力．