Question

某幼兒園準備建一個轉盤，轉盤的外圍是一個周長k米的圓．在這個圓上安裝座位，且每個座位和圓心處的支點都有一根直的鋼管相連，經預算，轉盤上的每個座位與支點相連鋼管的費用為3k元/根，且當兩相鄰的座位之間的圓弧長為x米時，相鄰兩座位之間的鋼管和其中一個座位的總費用為[2+

(128 x +20)x

25

]k元，假設座位等距離分布，且至少有兩個座位，所有座位都視為點，且不考慮其他因素，記轉盤的總造價為y元．
（1）試寫出y關于x的函數關系式，并寫出定義域；
（2）當k=50米時，試確定座位的個數，使得總造價最低．

Answer 1

分析：（1）由題意，總造價y中包括座位和圓心處的支點間的鋼管的費用，相鄰座位之間的鋼管與座位的費用，故只需算出座位的個數即知鋼管的個數，將兩項費用表示出來，相加即得y關于x的函數關系式；
（2）將k=50米代入函數關系式，利用導數研究函數的單調性，求出最值即得最低的總造價．

解答：解：（1）設轉盤上總共有n個座位，則x=

k

n

，即n=

k

x

，
∴y=

3k2

x

+

k2

x

[2+

(128 x +20)x

25

]，定義域為{x|0＜x≤

k

2

，

k

x

∈Z}．
故y關于x的函數關系式是y=

3k2

x

+

k2

x

[2+

(128 x +20)x

25

]，定義域{x|0＜x≤

k

2

，

k

x

∈Z}．（6分）
（2）令y=f（x）=k²（

5

x

+

128 x +20

25

），
則f′（x）=

-125+64x 3 2

25x2

k2=0，
當k=50時，∴x=

25

16

，（10分）
當x∈（0，

25

16

）時，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（0，

25

16

）上單調減，
當x∈（

25

16

，25）時，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（

25

16

，25）上單調增，
y_min在x=

25

16

時取到，此時座位個數為

50

25 16

=32個．（15分）
答：當座位的個數為32時，使得總造價最低．

點評：本題是常見的利用導數解決現實中造價最優的一個應用題，審題與構造函數是重點，在求最值時要根據函數的形式選擇合適的方法．