Question

已知函數f （x）=

1

x

-2．
（1）求f （x）的定義域；
（2）用定義法證明：函數f （x）=

1

x

-2在 （0，+∞） 上是減函數；
（3）求函數f （x）=

1

x

-2在區間[

1

2

，10]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）令函數的分母非0，求出x的范圍，寫出集合形式即為定義域．
（2）在區間上任意取兩個自變量，求出兩個函數值的差，將差變形，判斷出其符號，利用單調性定義得證．
（3）利用（2）的單調性，判斷出f（x）在[

1

2

，10]單調性，求出最值．

解答：解：（1）要使函數有意義，需滿足x≠0
∴f （x）的定義域為{x|x≠0}
（2）設x₁＞x₂＞0則
f(x1)-f(x2)=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1•x2

∵x₁＞x₂＞0
∴x₁•x₂＞0，x₂-x₁＜0
∴f(x1)-f(x2)=

x2-x1

x1•x2

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞） 上是減函數
（3）∵f（x）在（0，+∞） 上是減函數
∴f（x）在[

1

2

，10] 上是減函數
∴當x=

1

2

時，f（x）有最大值f(

1

2

)=0
∴函數f （x）[

1

2

，10]最大值為0

點評：利用單調性的定義解決函數的單調性問題時，一定將兩個函數值的差變形到容易判斷出差的符號為至．