Question

已知數列是等差數列，且，；又若是各項為正數的等比數列，且滿足，其前項和為，.
(1)分別求數列，的通項公式，；
(2)設數列的前項和為，求的表達式，并求的最小值.

Answer 1

(1) ， ；(2)，.

試題分析：(1)首先設出公差和公比，根據已知條件及等比數列和等差數列的性質，列方程組解方程組，求得公差和公比，寫出各自的通項公式；(2)因為取偶數和奇數時，數列的項數會有變化，所以對分取偶數和奇數兩種情況進行討論，根據等差數列和等比數列的前項和公式，求出的表達式，根據前后兩項的變化確定的單調性，求得每種情況下的最小值，比較一下，取兩個最小值中的較小者.
試題解析：(1)設數列的公差是，的公比為，
由已知得，解得，所以；                 2分
又，解得或(舍去)，所以；                 .4分
(2)當為偶數時，，
當為奇數時.   .10分
當為偶數時，，所以先減后增，
當時，，所以；
當時，，所以；
所以當為偶數時，最小值是.                   12分
當為奇數時，，所以先減后增，
當時，，所以，
當時，，所以，
所以當為奇數時，最小值是.
比較一下這兩種情況下的的最小值，可知的最小值是.        .14分項和公式；2、數列與函數單調性的綜合應用；3、數列與求函數最值的綜合運用；4、數列的函數特性.