Question

函數f(x)對任意的m、n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且當x＞0時，f(x)＞1.

(1)求證：f(x)在R上是增函數；

(2)若f(3)=4,解不等式f(a²+a-5)＜2.

Answer 1

(1)證明：設x₁、x₂∈R,且x₁＜x₂,

則x₂-x₁＞0.

∴f(x₂-x₁)＞1.而

f(x₂)-f(x₁)=f［(x₂-x₁)+x₁］-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)=f(x₂-x₁)-1＞0,

∴f(x)是增函數.

(2)解析：f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=f(1+1)+f(1)-1=f(1)+f(1)-1+f(1)-1,

3f(1)-2=4,

∴f(1)=2.

∴不等式即f(a²+a-5)＜f(1).

∵f(x)是增函數,

∴a²+a-5＜1.

解得-3＜a＜2.