Question

從某校高三上學期期末數學考試成績中，隨機抽取了60名學生的成績得到頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）根據頻率分布直方圖，估計該校高三學生本次數學考試的平均分；
（Ⅱ）以上述樣本的頻率作為概率，從該校高三學生中有放回地抽取3人，記抽到的學生成績不低于90分的人數為X；求X的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意及頻率分布直方圖及平均數的定義即可求估計本次考試的平均分；
（Ⅱ）抽到的學生成績不低于90分的人數X的取值可能為0，1，2，3，然后求出每個學生成績低于90分的概率和不低于90分的概率，再分別求出X=0，1，2，3時的概率，列出分布列，最后利用數學期望的公式解之即可．

解答：解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖，得該校高三學生本次數學考試的平均分為平均分為：

.

x

=40×0.1+60×0.15+80×0.15+100×0.3+120×0.25+140×0.05=92．
（Ⅱ）抽到的學生成績不低于90分的人數X的取值可能為0，1，2，3
因為以上述樣本的頻率作為概率
所以每個學生成績低于90分的概率為（0.005+0.0075+0.0075）×20=

2

5

，不低于90分的概率為

3

5

P（X=0）=(

2

5

)3=

8

125

，P（X=1）=

C

1 3

(

3

5

)1(

2

5

)2=

36

125

，P（X=2）=

C

2 3

(

3

5

)2(

2

5

)1=

54

125

，P（X=3）=(

3

5

)3=

27

125

分布列如下

X	0	1	2	3
P	8 125	36 125	54 125	27 125

∴E（X）=0×

8

125

+1×

36

125

+2×

54

125

+3×

27

125

=

9

5

∴X的期望為

9

5

點評：本題考查頻率分布直方圖的應用，概率的求法，離散型隨機變量的期望與方差，考查分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．