Question

【題目】已知直線：與軸相交于點，點坐標為，過點作直線的垂線，交直線于點.記過、、三點的圓為圓.

（1）求圓的方程；

（2）求過點與圓相交所得弦長為8的直線方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和.

【解析】分析：根據過、、三點的圓即為以為直徑的圓，所以的中點為圓心，半徑為為的一半。

（2）先討論直線斜率不存在，在討論直線斜率存在，則直線方程，利用所求直線與圓相交所得弦長為8，由垂徑定理，表示出圓心到所求直線的距離，再求解斜率。

詳解：（1）由已知，

依題意，圓的圓周角，

所以過、、三點的圓即為以為直徑的圓，

所以，圓的的圓心為的中點，

因為，所以圓的半徑為，

所以圓的方程為.

（2）因為所求直線與圓相交所得弦長為8，

由垂徑定理，圓的圓心到所求直線的距離為，

易知，直線滿足題意，

由已知，直線：，

解得點的坐標為，

設斜率存在且滿足題意的直線方程為，即，

則圓心到直線的距離為，

令，解得，

所以，所求直線方程為和.