Question

已知圓C方程為：x²+y²=4．
（Ⅰ）直線l過點P（1，2），且與圓C交于A、B兩點，若，求直線l的方程；
（Ⅱ）過圓C上一動點M作平行于x軸的直線m，設m與y軸的交點為N，若向量，求動點Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線．

Answer 1

【答案】分析：（I）分類討論：①當直線l垂直于x軸時；②若直線l不垂直于x軸．對于②，設其方程為y-2=k（x-1），結合直線與圓的位置關系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
（II）設點M的坐標為（x，y）（y≠0），Q點坐標為（x，y），利用向量的坐標運算表示出M的坐標，再利用M點在圓上其坐標適合方程即可求得動點Q的軌跡方程，最后利用方程的形式進行判斷是什么曲線即可．
解答：解（Ⅰ）①當直線l垂直于x軸時，
則此時直線方程為x=1，l與圓的兩個交點坐標為和，
其距離為滿足題意（1分）
②若直線l不垂直于x軸，設其方程為y-2=k（x-1），即kx-y-k+2=0
設圓心到此直線的距離為d，則，得d=1（3分）
∴，，
故所求直線方程為3x-4y+5=0
綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1（7分）

（Ⅱ）設點M的坐標為（x，y）（y≠0），Q點坐標為（x，y）
則N點坐標是（0，y）（9分）
∵，
∴（x，y）=（x，2y）即x=x，（11分）
又∵x²+y²=4，∴
∴Q點的軌跡方程是，（13分）
軌跡是一個焦點在y軸上的橢圓，除去長軸端點．（14分）
點評：本小題主要考查直線的一般式方程、直線和圓的方程的應用、軌跡方程的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．