Question

某廠生產某種零件，每個零件的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，但實際出廠單價不能低于51元．
（1）當一次訂購量為多少個時，零件的實際出廠單價恰為51元？（3分）
（2）設一次訂購量為x個，零件的實際出廠單價為P元，寫出函數P=f（x）的表達式；
（3）如果訂購量為x個，該廠獲得的利潤為L，寫出函數L=g（x）的表達式；當銷售商一次訂購零件量x∈[50，500]時，要使該廠獲得的利潤最大，只有銷售商一次訂購多少零件．

Answer 1

分析：（1）根據出廠單價定為60元，實際出廠單價恰為51元，當一次訂購量超過100個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低0.02元，即可求出一次訂購量；
（2）根據題意，零件的實際出廠單價是個分段函數，結合（1）可分段寫出對應的函數，從而得出函數P=f（x）的表達式；
（3）利潤為實際出廠單價與零件的成本的差乘以一次訂購零件量，再利用利潤函數g（x）在[50，500]范圍內是增函數，即可求得該廠獲得的利潤最大時，銷售商一次訂購的零件數．

解答：解：（1）設每個零件的實際出廠價恰好降為51元時，一次訂購量為x₀個，則x₀=100+

60-51

0.02

=550（2分）
因此，當一次訂購量為550個時，零件的實際出廠單價恰為51元　　　　　　（3分）
（2）當0＜x≤100時，P=60；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（4分）
當100＜x＜550時，P=60-0.02（x-100）=62-

x

50

（6分）
當x≥550時，P=51，（7分）．
所以，P=f(x)=

60，0＜x≤100 62- x 50 ，100＜x＜550，(x∈N) 51，x≥550.

（9分）
（3）設銷售商一次訂購零件量為x個時，該廠獲得的利潤為L元，則
L=g（x）=（P-40）x=

20x，0＜x≤100 22x- x2 50 ，100＜x＜550，(x∈N) 11x，x≥550.

（11分）
∴函數g（x）在[50，550]范圍內是增函數　　　　　　　（13分）
∴當x=550時，g（x）取得最大值．
所以，要使該廠獲得的利潤最大，只有銷售商一次訂購550個零件．　　（14分）

點評：本題重點考查利用函數的模型解決實際問題的能力．要先根據題意列出函數關系式，再代數求值．解題的關鍵是要分析題意根據實際意義求解．注意分段函數的要根據自變量的范圍分段求得解析式