Question

在數列{a_n}中，S_n是數列{a_n}前n項和，a₁=1，當n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n
（I）求證：數列{

1

Sn

}是等差數列；
（II）設bn=

Sn

2n+1

求數列{b_n}的前n項和T_n；
（III）是否存在自然數m，使得對任意自然數n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-8)成立？若存在，求出m的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）由n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n=S_n-1-S_n，利用分離常數法，可證得數列{

1

Sn

}是等差數列；
（II）由（I）中數列{

1

Sn

}的通項公式，求出S_n的通項公式，進而可得數列{b_n}的通項公式，利用裂項相消法，可得數列{b_n}的前n項和T_n；
（III）由（II）中T_n的表達式，可得到T_n為遞增數列，故對任意自然數n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-8)成立，即T1＞

1

4

(m-8)，由此構造m的不等式，解答后可得m的范圍進而得到最大值．

解答：證明：（I）∵當n≥2時，2S_nS_n-1=-a_n=S_n-1-S_n
兩邊同除S_nS_n-1得：2=

1

Sn

-

1

Sn-1

∵a₁=1，
∴

1

S1

=1
即{

1

Sn

}是以1為首項，以2為公差的等差數列
（II）由（I）得

1

Sn

=2n-1
即S_n=

1

2n-1

∴bn=

Sn

2n+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

（III）令T（x）=

x

2x+1

，則T′（x）=

1

(2x+1)2

則T（x）在[1，+∞）上是增函數，
故當n=1時，T_n取最小值

1

3

若對任意自然數n∈N^*，都有Tn＞

1

4

(m-8)成立
只要T1＞

1

4

(m-8)
即

1

3

＞

1

4

(m-8)
解得m＜

28

3

，
由m∈N^*，
∴m的最大值為9

點評：本題考查的知識點是數列與不等式的綜合，等差關系的確定，數列求和，熟練掌握分離常數法，裂項相消法等處理數列問題的常用方法，是解答的關鍵．