Question

【題目】如圖，直四棱柱的底面是邊長為2的菱形，，.、分別為和的中點(diǎn).平面與棱所在直線交于點(diǎn).

（1）求證：平面平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）判斷點(diǎn)是否與點(diǎn)重合.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）（3）與重合.

【解析】

（1）在平面中，利用菱形的性質(zhì)可以證明出，結(jié)合直棱柱的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)定理可以證明出，這樣利用線面垂直、面面垂直的判定定理證明出平面平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式求出直線與平面所成角的正弦值；

（3）通過空間向量數(shù)量積公式可得，利用線面的相交關(guān)系，可以證明出點(diǎn)與點(diǎn)重合.或者通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，通過空間向量數(shù)量積公式，由，可以求出的坐標(biāo)，這樣就可以證明出點(diǎn)與點(diǎn)重合.

證明：（1）如圖所示，連結(jié)，，

∵四邊形為菱形，

且，∴，

又為等邊的邊的中點(diǎn)，

∴.

又直四棱柱中，平面，

平面，

∴.

又，平面，

∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）法1：

∵，，三線垂直，

∴以為原點(diǎn)，，，所在的直線為，，軸建系，則

，，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量為，則

，

令得.

設(shè)直線與平面所成角為，

則

.

∴直線與平面所成角正弦值為.

法2：

如圖所示，連結(jié)，交于點(diǎn).連接，交于，

∵四邊形為菱形，∴，

又，底面，∴平面.

易得，，三線垂直，如圖所示.

以為原點(diǎn)，，，所在直線為，，軸建系，

則，，，，，

，，

，，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

令得，

∴，

設(shè)直線與平面所成的角為，

則.

（3）法1：，，

∴，

又，

∴，

又平面，∴平面，

即平面，

由已知平面，

且平面，

∴與點(diǎn)重合.

法2：設(shè).

則，

∴，即，

∴，又，

即與重合.