Question

已知函數f(x)=1+

1

x-1

，g(x)=f(2|x|)．
（1）判斷函數f（x）和g（x）的奇偶性，并說明理由；
（2）證明函數g（x）在（-∞，0）上為增函數；
（3）若關于x關于的不等式g(x)＜

m

m+1

在x∈（1，+∞）時恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠1}，知函數f（x）為非奇非偶函數，再由g（-x）=-g（x），知g（x）為偶函數．
（2）設x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，利用定義法能夠證明函數g （x）在（-∞，0）上為增函數．
（3）由（1）（2），知函數在（1，+∞）上單調遞減，故g（x）＜g（1）=2，由此能求出m的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）的定義域為{x|x∈R且x≠1}，
∴函數f（x）為非奇非偶函數，
又∵g(x)=f(2|x|)=1+

1

2|x|-1

，
∴函數g（x）的定義域{x|x∈R且x≠0}，
且g(-x)=1+

1

2|-x|-1

=1+

1

2|x|-1

=g(x)，
所以g（x）為偶函數．
（2）設x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
g(x1)-g(x2)=

1

2|x1|-1

-

1

2|x2|-1

=

2|x2|-2|x1|

(2|x1|-1)(2|x2|-1)

，
∵x₁，x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂，
∴|x₁|＞|x₂|＞0
∴2|x1|＞2|x2|，2|x2|-2|x1|＜0，2|x1|-1＞0，2|x2|-1＞0
所以g（x₁）＜g（x₂），所以函數g （x）在（-∞，0）上為增函數．
（3）由（1）（2），知函數在（1，+∞）上單調遞減，
∴g（x）＜g（1）=2，
∵不等式g(x)＜

m

m+1

在x∈（1，+∞）時恒成立，
∴

m

m+1

≥2，解得-2≤m＜-1．
所以m的取值范圍是{m|-2≤m＜-1}．

點評：本題考查函數奇偶性的判斷，考查函數單調性的證明，考查滿足條件的實數的取值范圍的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．