Question

已知等差數列的首項為a，公差為b，等比數列的首項為b，公比為a，其中a、b都是大于1的正整數，且。
①求a的值；
②對于任意的，總存在，使得成立，求b；
③令，問數列中是否存在連續三項成等比數列，若存在，求出所有成等比數列的連續三項，若不存在，請說明理由。（14分）

Answer 1

①②③這三項依次是18，30，50

解：（1）由已知得：，，由，得， ，∵a,b都是大于1的正整數，∴，，又∵，∴,∴,∴,∴  （5分）
（2）,∴,∴,∴5一定是b的倍數，∵，∴  （8分）
（3）設數列中，成等比數列，由得

化簡得： （*）  （10分）
當n＝1時，由（*）式得 b＝1，與題意矛盾，當n＝2時，由（*）式得 b＝4，
即成等比數列，，∴，
當，這與矛盾   （13分）
綜上所述，當時，不存在連續三項成等比數列，當時，數列中的第二、三、四項成等比數列，這三項依次是18，30，50  （14分）