Question

已知函數f（x）=x+

2

x

．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）用函數單調性的定義證明：f（x）在(0，

2

]上單調遞減；
（3）若關于x的方程f（x）-2a=0在(

1

2

，

2

]上有解，求a的范圍．

Answer 1

分析：（1）由于此函數是由兩個奇函數的和構成的，可判斷其為奇函數，再利用奇函數的定義證明：先證明定義域關于原點對稱，在證明f（-x）=-f（x）即可．
（2）利用函數的單調性直接證明即可．
（3）利用函數的單調性，求出函數在區間內的值域，然后求出a的范圍．

解答：解：（1）函數f（x）=x+

2

x

的定義域：（-∞，0）∪（0，+∞），定義域關于原點對稱，
在f（x）的定義域內任取一個x，則有f（-x）=（-x）+

2

-x

=-（x+

2

x

）=-f（x）
所以，f（x）是奇函數．
（2）任設0＜x₁＜x₂＜

2

，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

2

x1

-（x₂+

2

x2

）=x₁-x₂+（

2

x1

-

2

x2

）=（x₁-x₂）

x1x2-2

x1x2

，
因為0＜x₁＜x₂＜

2

，0＜x₁x₂＜2，x₁-x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
所以函數在（0，1）上為減函數．
（3）由（2）可知函數在(

1

2

，

2

]上是減函數，所以函數在(

1

2

，

2

]上的值域為：[2

2

，

9

2

），
關于x的方程f（x）-2a=0在(

1

2

，

2

]上有解，即關于x的方程

1

2

f（x）=a在(

1

2

，

2

]上有解，
所以a∈[

2

，

9

4

)．

點評：本題考查了奇函數的定義，判斷函數奇偶性的方法，奇函數的證明方法；以及利用定義法證明函數的單調性以及利用函數的單調性求解函數的值域的方法，考查分析問題解決問題的能力．