Question

【題目】已知函數在x＝－1與x＝2處都取得極值．

(1)求的值及函數的單調區間；

(2)若對，不等式恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）函數在極值點的導數為零，利用求,再利用導數的正負求其單調區間（2）利用函數單調性，分析的最大值，只需即可.

(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由題意得

即解得

∴f(x)＝x3－x2－6x＋c，f′(x)＝3x2－3x－6.

令f′(x)<0，解得－1<x<2；

令f′(x)>0，解得x<－1或x>2.

∴f(x)的減區間為(－1，2)，

增區間為(－∞，－1)，(2，＋∞)．

(2)由(1)知，f(x)在(－∞，－1)上單調遞增；在(－1，2)上單調遞減；在(2，＋∞)上單調遞增．

∴x∈時，f(x)的最大值即為：f(－1)與f(3)中的較大者．

f(－1)＝＋c，f(3)＝－＋c.

∴當x＝－1時，f(x)取得最大值．

要使f(x)＋c<c2，只需c2>f(－1)＋c，即2c2>7＋5c，解得c<－1或c>.

∴c的取值范圍為(－∞，－1)∪.