Question

在數列中，，，且；
（1）設，證明是等比數列；（2）求數列的通項公式；（3）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項；

Answer 1

（1）略（2）（3）證明略

本題源自等差數列通項公式的推導。
（1）證明：由題設（），得
，即，．
又，，所以是首項為1，公比為的等比數列．
（2）由（1），
　　　　　　　　，
　　　　　　　　……
　　　　　　　　，（）．
將以上各式相加，得（）．
所以當時，
上式對顯然成立．
（3）由（2），當時，顯然不是與的等差中項，故．
由可得，由得，　①
整理得，解得或（舍去）．于是．
另一方面，，
　　　　　．
由①可得，．
所以對任意的，是與的等差中項．