Question

t∈R，且t∈（0，10），由t確定兩個任意點P（t，t），Q（10-t，0）．
（1）直線PQ是否能通過下面的點M（6，1），點N（4，5）；
（2）在△OPQ內作內接正方形ABCD，頂點A、B在邊OQ上，頂點C在邊PQ上，頂點D在邊OP上．
①求證：頂點C一定在直線y=

1

2

x上．
②求下圖中陰影部分面積的最大值，并求這時頂點A、B、C、D的坐標．

Answer 1

分析：對于（1）可先求直線PQ的方程再把點M，點N的坐標代入檢驗即可得到結論．
對于（2）的①找出點C的坐標看是否適合直線y=

1

2

x．對于（2）的②陰影部分的面積即為三角形的面積減去正方形的面積，作差求最值即可．

解答：解：（1）令過P、Q方程

y-0

x-0

=

x-(10-t)

t-(10-t)

tx-2（t-5）y+t²-10t=0，
假設M過PQ，
則t²-6t+10=0，△=36-40＜0，無實根，故M不過直線PQ．
若假設N過直線PQ，
同理得：t²-16t+50=0，t₁=8-

14

，t₂=8+

14

（舍去）
∵t∈（0，10），當t=8-

14

時，直線PQ過點N（4，5）
（2）由已知條件可設A（a，0），B（2a，0），C（2a，a），D（a，a）．
①點C（2a，a），即

x=2a y=a

，
消去a得y=

1

2

x，
故頂點C在直線y=

1

2

x上．
②令陰影面積為S，則s=

1

2

|10-t|-|t|-a²
∵t＞0，10-t＞0，S=

1

2

（-t²+10t）-a²
∵點C（2a，a）在直線PQ上，
∴2at-2（t-5）a=-t²+10t
∴a=

1

10

（10t-t²），
S=

1

2

×10a-a²=-(a-

5

2

)2+

25

4

∴當a=

5

2

時，S_max=

25

4

，
此時頂點A、B、C、D的坐標為A（

5

2

，0）
，B（5，0），C（5，

5

2

），D（

5

2

，

5

2

）

點評：轉化思想是我們高中常考的一種解題思想，常用于正面不好求，但轉化后好求的題中．