Question

14、直角坐標平面內，我們把橫坐標、縱坐標都是整數的點稱為整點．現有一系列頂點都為整點的等腰直角三角形△OA₁B₁，△OA₂B₂，△OA₃B₃，…，△OA_nB_n，…，其中點O是坐標原點，直角頂點A_n的坐標為（n，n）（n∈N^*，n≥3），點B_n在x軸正半軸上，則第n個等腰直角三角形△OA_nB_n內（不包括邊界）整點的個數為

（n-1）²

．

Answer 1

分析：先列舉后推理的辦法解答，就是滿足題意的整點：△OA₁B_1、△OA₂B₂、△OA₃B₃、△OA₄B₄、找出規律，求出△OAnBn內整點個數．

解答：解 的頂點分別是（0，0）（1，1）（2，0）
所以很明顯內部沒有整點
△OA₂B₂的頂點分別是（0，0）（2，2）（4，0）
所以很明顯內部整點有（2，1）就一個
△OA₃B₃的頂點分別是（0，0）（3，3）（6，0）
所以很明顯內部整點有（2，1）（3，1）（3，2）（4，2）共4個
△OA₄B₄的頂點分別是（0，0）（4，4）（8，0）
所以很明顯內部整點有（2，1）（3，1）（3，2）（4，1）（4，2）（4，3）（5，1）（5，2）（6，1）一共是9個
所以我們能總結出規律：整點橫縱坐標之和一定小于8，并且縱坐標不能為0，也必須小于橫坐標
而且很明顯：△OA₁B₁內整點個數是0=（1-0）²
△OA₂B₂內整點個數是1=（2-1）²
△OA₃B₃內整點個數是4=（3-1）²
△OA₄B₄內整點個數是9=（4-1）²
所以△OAnBn內整點個數是（n-1）²
故答案為：（n-1）²

點評：本題考查二元一次不等式（組）與平面區域，考查邏輯思維能力，計算能力，是基礎題．