Question

已知x為實數，復數z=（x²+x-2）+（x²+3x+2）i．
（Ⅰ）當x為何值時，復數z為純虛數？
（Ⅱ）當x=0時，復數z在復平面內對應的點Z落在直線y=-mx+n上，其中mn＞0，求

1

m

+

1

n

的最小值及取得最值時的m、n值．

Answer 1

考點：復數的基本概念,基本不等式

專題：數系的擴充和復數

分析：（Ⅰ）復數z為純虛數，復數的實部為0，虛部不為0，求出x即可；
（Ⅱ）當x=0時，求出m、n的關系，其中mn＞0，利用基本不等式求

1

m

+

1

n

的最小值及取得最值時的m、n值．

解答： 解：（Ⅰ）復數z為純虛數，∴

x2+x-2=0 x2+3x+2≠0

，解得x=1．
（Ⅱ）當x=0時，復數z（-2，2），復數z在復平面內對應的點Z落在直線y=-mx+n上，∴2m+n=2，
∵mn＞0，∴

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（m+

n

2

）=

3

2

+

m

n

+

n

2m

≥

3

2

+

2

當且僅當n2=2m2等號成立，
又2m+n=2，
∴m=2-

2

，n=2

2

-2．

點評：本題考查復數的基本概念的應用，基本不等式的應用，考查計算能力．