Question

（1）若任意直線l過點F（0，1），且與函數f（x）=

1

4

x2的圖象C交于兩個不同的點A，B，分別過點A，B作C的切線，兩切線交于點M，證明：點M的縱坐標是一個定值，并求出這個定值；
（2）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，g（x）=alnx（a＞o）求實數a的取值范圍；
（3）求證：

ln24

24

+

ln34

34

+

ln44

44

+…

lnn4

n4

＜

2

e

，（其中e為無理數，約為2.71828）．

Answer 1

分析：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分別求出在點A，B處的切線方程，求出兩切線的交點M的縱坐標，即可得到結論；
（2）令F（x）=f（x）-g（x），然后利用導數研究F（x）的最小值，使F（x）的最小值大于等于0即可，從而求出a的取值范圍；
（3）由（2）可知，取a=

e

2

有

x2

4

≥

e

2

lnx  化簡得：

2lnx

x2

≤

1

e

，再變形得：

lnx4

x4

≤

2

ex2

，然后利用疊加法，以及裂項求和法可證得結論．

解答：證明：（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意知AB的斜率必存在  設AB：y=kx+1代入y=

1

4

x2
得  x²-4kx-4=0∴x₁x₂=-4
∵f（x）=

1

4

x2∴f′（x）=

x

2

∴k_AM=

x1

2

，k_BM=

x2

2

，
∴AM：y-

x 2 1

4

=

x1

2

（x-x₁），
化簡得：AM：y=

x1

2

x-

x 2 1

4

同理：BM：y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，解得：y=

x1x2

4

=-1
（2）令：F（x）=f（x）-g（x）=

1

4

x2-alnx（a＞0，x＞0），
∴F′（x）=

x

2

-

a

x

=

x2-2a

2x

令 F′（x）=0 得：x=

2a

 
所以 當x∈（0，

2a

）時F′（x）＜0   即F（x）在區間（0，

2a

）上單調遞減；
所以 當x∈（

2a

，+∞）時F′（x）＞0即即F（x）在區間（

2a

，+∞）上單調遞增；
∴y=F（x）在x=

2a

時取得最小值，要f（x）≥g（x）恒成立，只要F（

2a

）≥0
即 

x

2

-aln

2a

≥0，解得a≤

e

2

（3）由（2）可知，取a=

e

2

有

x2

4

≥

e

2

lnx  化簡得：

2lnx

x2

≤

1

e

變形得：

lnx4

x4

≤

2

ex2

∴

ln24

24

+

ln34

34

+

ln44

44

+…

lnn4

n4

＜

2

e

（

1

22

+

1

32

+

1

42

+…+

1

n2

）
＜

2

e

（

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

）=

2

e

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=

2

e

（1-

1

n

）＜

2

e

點評：本題主要考查了恒成立問題，以及不等式的證明和裂項求和法的應用，同時考查了轉化能力，屬于難題．