Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的正三角形，側棱CC₁，AA₁，BB₁都與左右的兩個底面垂直，D是側棱CC₁中點，直線AD與側面BB₁C₁C成角為45°．
（1）求此正三棱柱側棱CC₁長；
（2）求二面角A-BD-C正切值．

Answer 1

分析：（1）取BC中點O，連接AO，DO，則∠ADO是直線AD與側面BB₁C₁C成角，由此利用題設條件能求出此正三棱柱側棱CC₁長．
（2）以OC為x軸，以過O點平行于CC₁的直線為y軸，以OA為z軸，建立空間直角坐標系，用向量法能求出二面角A-BD-C的正切值．

解答：解：（1）取BC中點O，連接AO，DO，則∠ADO是直線AD與側面BB₁C₁C成角，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是邊長為2的正三角形，
∴AO=

4-1

=

3

，
∵D是側棱CC₁中點，直線AD與側面BB₁C₁C成角為45°，
∴CD=

( 3 )2-12

=

2

，
∴CC₁=2DC=2

2

．
（2）以OC為x軸，以過O點平行于CC₁的直線為y軸，以OA為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，0，

3

），B（-1，0，0），C（1，0，0），D（1，

2

，0），
∴

AB

=(-1，0，-

3

)，

AD

=（1，

2

，-

3

），
設

n

=（x，y，z）是平面ABD的一個法向量，則

n

•

AB

=0，

n

•

AD

=0，
∴

-x- 3 z=0 x+ 2 y- 3 z=0

，解得

n

=（

3

，-

6

，-1）
設二面角A-BD-C的平面角為θ，
∵面BCD的一個法向量是

m

=（0，0，

3

），
∴cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

- 3

10 • 3

|=

10

10

．
∴tanθ=3．
故二面角A-BD-C的正切值為3．

點評：本題考查三棱柱側棱長的求地，考查二面角正切值的求法，解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，建立適當的空間直角坐標系進而利用空間向量解決空間中的空間角與空間距離問題．