Question

設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，離心率為 ， 在軸負半軸上有一點，且

（1）若過三點的圓 恰好與直線相切，求橢圓C的方程；
（2）在（1）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓C交于兩點，在軸上是否存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，如果存在，求出的取值范圍；如果不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在滿足題意的點且的取值范圍是。

試題分析：（1）由題意，得，所以 
又  由于，所以為的中點，
所以
所以的外接圓圓心為，半徑  3分
又過三點的圓與直線相切，
所以解得，
所求橢圓方程為   6分
（2）有（1）知,設的方程為：
將直線方程與橢圓方程聯立
,整理得
設交點為，因為
則  8分
若存在點，使得以為鄰邊的平行四邊形是菱形，
由于菱形對角線垂直，所以
又 
又的方向向量是，故，則
，即
由已知條件知  11分
，故存在滿足題意的點且的取值范圍 是  13分
點評：難題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質。對于存在性問題，往往先假設存在，利用已知條件加以探究，以明確計算的合理性。本題（III）通過確定m的表達式，利用函數思想，通過求函數的最值，確定得到其范圍。