Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，E是PB上任意一點(diǎn)，△AEC面積的最小值是3．
（Ⅰ）求證：AC⊥DE；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析：（I）連接BD，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F．由已知中在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，我們易得AC⊥BD，PD⊥AC，由線面垂直的判定定理可以得AC⊥平面PDB，再由線面垂直的性質(zhì)定理，即可得到AC⊥DE；
（Ⅱ）連接EF，由（Ⅰ）的結(jié)論可知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，所以AC⊥EF，結(jié)合已知中AC=6，BD=8，E是PB上任意一點(diǎn)，△AEC面積的最小值是3．我們可以求出EF，F(xiàn)B，PD的值，將PD值，及底面四邊形ABCD的面積求出后，代入棱錐體積公式，即可得到答案．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接BD，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD．
又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以PD⊥AC．
而AC∩BD=F，所以AC⊥平面PDB．
E為PB上任意一點(diǎn)，DE?平面PBD，所以AC⊥DE．
（Ⅱ）連EF．由（Ⅰ），知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，所以AC⊥EF．
S_△ACE=

1

2

AC•EF，在△ACE面積最小時(shí)，EF最小，則EF⊥PB．
S_△ACE=

1

2

×6×EF=3，解得EF=1．
由△PDB∽△FEB，得PD：EF=BP：FB．
由于EF=1，F(xiàn)B=4，PB=

PD2+64

，所以PB=4PD，即

PD2+64

=4PD．
解得PD=

8 15

15

．
V_P-ABCD=

1

3

•S_□ABCD•PD=

1

3

×24×

8 15

15

=

64 15

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線與平面垂直的性質(zhì)，棱錐的體積，其中在求棱錐的體積時(shí)，求出棱錐的高及底面面積是解答的關(guān)鍵．