Question

已知f（x）=x²+2x+3，g（x）=log_5m-2x命題p：當x∈R時，f（x）＞m恒成立．  命題q：g（x）在（0，+∞）上是增函數．
（1）若命題q為真命題，求m的取值范圍；
（2）若命題p為真命題，求m的取值范圍；
（3）若在p∧q、p∨q中，有且僅有一個為真命題，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若命題q為真命題，說明f（x）的最小值也要大于m，因此只要求出f（x）在R上的最小值，即可得m的取值范圍；
（2）若命題p為真命題，說明對數函數的底數為大于1的正數，因此可求出m的取值范圍；
（3）若在p∧q、p∨q中，有且僅有一個為真命題，說明“p真q假““p假q真“，結合（1）（2）的結論可以得出m的取值范圍．

解答：解：
（1）若命題q為真命題，即g（x）在（0，+∞）上是增函數，則5m-2＞1，∴m＞

3

5

…（2分）
（2）當x∈R時，f（x）=x²+2x+3=（x+1）²+2≥2，f（x）的最小值為2    …（4分）
若命題p為真命題，即f（x）＞m恒成立，則m＜2…（6分）
（3）在p∧q、p∨q中，有且僅有一個為真命題，則可能有兩種情況：p真q假、p假q真，…（7分）
①當p真q假時，由

m＜2 m≤ 3 5

得m≤

3

5

…（9分）
②當p假q真時，由

m≥2 m＞ 3 5

得m≥2…（11分）
綜上知，m的取值范圍為(-∞，

3

5

]∪[2，+∞)…（12分）

點評：本題考查了含有邏輯連接詞的命題真假的判斷，屬于基礎題．在兩個命題p和q一真一假時，p∧q為假命題，p∨q為真命題，應該抓住這個實質．