Question

已知各項均為正數的等比數列{a_n}的首項為a₁=2，且4a₁是2a₂，a₃的等差中項．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）若b_n=a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求數列{a_n}的通項公式，因為數列{a_n}為等比數列，a₁=2，所以只需求出q，根據4a₁是2a₂，a₃，的等差中項，就可找到含q的方程，解出q即可．
（Ⅱ）先把（Ⅰ）所求數列{a_n}的通項公式代入b_n=a_nlog₂a_n，化簡，即得數列{b_n}的通項公式，再利用錯位相減法，求和即可．

解答：解：（Ⅰ）∵數列{a_n}為等比數列，a₁=2，
∴a₂=a₁q=2q，a₃=a₁q²=2q²
∵4a₁是2a₂，a₃，的等差中項，∴8a₁=2a₂+a₃，即，16=2或=4q+2q²
解得，q=2或q=-4
∵數列{a_n}各項均為正數，∴q=-4舍去，
∴q=2，∴列{a_n}的通項公式a_n=2ⁿ
（Ⅱ）把a_n=2ⁿ代入b_n=a_nlog₂a_n，得，b_n=2ⁿlog₂2ⁿ=n2ⁿ，
∴S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n2ⁿ      ①
2S_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n2ⁿ⁺¹    ②
①-②，得-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n2ⁿ⁺¹
∴S_n=-2ⁿ⁺¹+2+n2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2

點評：本題考查了等比數列通項公式的求法，以及錯位相減法求數列的和，屬于數列的常見題型，應當掌握．