Question

（選修4-2　矩陣與變換）已知二階矩陣M有特征值λ=6及對應的一個特征向量e₁=

.

1 1

.

，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）換成（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值，及對應的一個特征向量e₂的坐標之間的關系．

Answer 1

分析：（1）先設矩陣 A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，由二階矩陣M有特征值λ=6及對應的一個特征向量e₁及矩陣M對應的變換將點（-1，2）換成（-2，4）．得到關于a，b，c，d的方程組，即可求得矩陣M；
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，從而求得另一個特征值為2，設矩陣M的另一個特征向量是e₂=

x y

，解得特征向量e₂的坐標之間的關系．

解答：解：（1）設矩陣 A=

ab cd

，這里a，b，c，d∈R，
則

a b c d

1 1

=6

1 1

=

6 6

，故

a+b=6 c+d=6

a b c d

-1 2

=

-2 4

，故

-a+2b=-2 -c+2d=4

聯立以上兩方程組解得a=

14

3

，b=

4

3

，c=

8

3

，d=

10

3

，故M=

14 3 8 3

4 3 10 3

．
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（λ）=λ²-8λ+12，故其另一個特征值為2，
設矩陣M的另一個特征向量是e₂=

x y

，則Me₂=

6x+2y 4x+4y

=2

x y

，解得2x+y=0

點評：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計算，屬于基礎題．