Question

【題目】如圖①，已知矩形ABCD滿足AB=5，，沿平行于AD的線段EF向上翻折（點E在線段AB上運動，點F在線段CD上運動），得到如圖②所示的三棱柱.

⑴若圖②中△ABG是直角三角形，這里G是線段EF上的點，試求線段EG的長度x的取值范圍；

⑵若⑴中EG的長度為取值范圍內的最大整數，且線段AB的長度取得最小值，求二面角的值；

⑶在⑴與⑵的條件都滿足的情況下，求三棱錐A-BFG的體積.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

⑴由題設條件可知△AEG、△BEG均為直角三角形，

因此，.

由余弦定理.

于是.

.

所以，.

又對任意，，.

則，故x的取值范圍為.

⑵因為AE⊥EF，BE⊥EF，所以∠AEB就是二面角C-EF-D的平面角

又由⑴知EG的長度x為的最大整數，因此x=2.

于是，（）.

因此t=2.5時，線段AB的長度取得最小值.

由此得，.

⑶由⑴、⑵知，，，

且.

因為AE⊥EF，BE⊥EF，.

所以EF⊥平面EAB，故

.