Question

（Ⅰ）求以點F₁（-2，0），F₂（2，0）分別為左右焦點，且經過點P（3，-2

6

）的橢圓的標準方程；
（Ⅱ）求中心在原點，焦點在坐標軸上，離心率為

2

，且經過點P（4，-

10

）的雙曲線的方程．

Answer 1

分析：（I）由橢圓的焦點坐標為F₁（-2，0），F₂（2，0）可得橢圓的焦點在x軸上，設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），將點P（3，-2

6

）的坐標代入，可得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）由于焦點坐標可能以x軸上，也可能在y軸上，故應分為兩種情況，結合雙曲線的離心率為

2

，且經過點P（4，-

10

）構造方程，解方程可得雙曲線的方程．

解答：解：（I）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓的焦點坐標為F₁（-2，0），F₂（2，0）
且經過點P（3，-2

6

）
故

9  a2 + 24 b2 =1 a2=b2+4

解得a²=36，b²=32
故橢圓的標準方程為

x2

36

+

y2

32

=1
（II）∵雙曲線的離心率為

2

，
故雙曲線為等軸雙曲線，即a=b
若焦點在x軸上，可設雙曲線的標準方程為

x2

a2

-

y2

a2

=1
將點P（4，-

10

）代入得a²=6
故雙曲線的標準方程為

x2

6

-

y2

6

=1
若焦點在y軸上，可設雙曲線的標準方程為

y2

a2

-

x2

a2

=1
將點P（4，-

10

）代入得a²=-6（舍去）
綜上雙曲線的標準方程為

x2

6

-

y2

6

=1

點評：本題是中檔題，考查橢圓方程和雙曲線方程的求法，熟練掌握待定系數法求圓錐曲線標準方程的方法過程是解答的關鍵．